Mở đầu

Khái niệm tập hợp đóng vai trò then chốt trong nền tảng của toán học hiện đại. Với tư cách là một công cụ trừu tượng để mô hình hóa nhóm các đối tượng có chung đặc điểm, tập hợp không chỉ là một phần không thể thiếu trong chương trình toán phổ thông, mà còn là ngôn ngữ cơ bản của các ngành toán học cao cấp như logic học, lý thuyết số, đại số trừu tượng và tôpô học. Từ cuối thế kỷ XIX, cùng với công trình tiên phong của nhà toán học Georg Cantor, lý thuyết tập hợp đã không chỉ hệ thống hóa nhiều khái niệm toán học cổ điển, mà còn mở đường cho sự phát triển của tư duy toán học hình thức. Chính vì vậy, việc tìm hiểu sâu sắc về tập hợp không chỉ giúp người học nâng cao khả năng tư duy logic, mà còn là bước đầu quan trọng để tiếp cận bản chất của toán học như một hệ thống chặt chẽ, nhất quán và giàu tính trừu tượng.

Thời cổ đại

Loài người đã học đếm như thế nào?

Khái niệm về số và quá trình đếm phát triển rất lâu trước khi lịch sử loài người được ghi chép lại bằng văn bản nên cách thức phát triển đó chỉ là những phỏng đoán của những thế hệ sau này. Người ta cho rằng ngay trong thời kỳ nguyên thủy xa xưa nhất, con người đã có những khái niệm sơ đẳng về số, để nhận ra sự nhiều hơn hoặc ít hơn khi một nhóm nhỏ các đồ vật được thêm vào hay lấy đi một số. Cùng với từng bước tiến xã hội, việc đếm trở thành một nhu cầu không thể thiếu được của con người. Một bộ lạc cần phải biết có bao nhiêu thành viên. Một người cần phải biết đàn gia súc của mình có bao nhiêu con. Có lẽ cách đếm sớm nhất là phương pháp đối chiếu đơn giản theo nguyên tắc tương ứng một - một. Chẳng hạn khi đếm cừu mỗi con cừu sẽ ứng với một ngón tay. Ngoài ra cách đếm có thể được thực hiện bằng cách tập hợp số viên đá sỏi hoặc qua những cái que, hoặc bằng cách vạch lên mặt đất hay một hòn đá có bề mặt phẳng và nhằn, hoặc bằng cách khắc các dấu chữ v trên một miếng gỗ, hoặc bằng thắt nút trên một sợi dây.

Xương Ishango

Xương Ishango có thể là hiện vật toán học cổ xưa nhất vẫn còn tồn tại đến ngày nay: nó được phát hiện vào năm 1950 tại Cộng hòa Dân chủ Congo ở khu vực Trung Phi, và được đặt tên theo khu vực nơi nó được tìm thấy. Hiện vật này có niên đại từ thời kỳ đồ đá cũ muộn trong lịch sử loài người, khoảng 20.000 năm trước.

Chiếc xương dài 10 cm và chứa một loạt các khía, mà nhiều nhà khoa học tin rằng đã được sử dụng để đếm. Cách nhóm các khía thậm chí có thể gợi ý về sự hiểu biết toán học cao cấp hơn, như hệ thập phân hoặc số nguyên tố.

Khi đếm thì vấn đề nan giải tiếp theo mà con người phải vượt qua đó là khi số lượng cần phải đếm nhiều đáng kể, không thể nào mãi khắc vạch, không thể nào bổ sung mãi các hòn sỏi, que đếm, chuỗi hạt,… Làm sao để chỉ rõ con số lớn một cách đơn giản, với số lượng đối tượng được thể hiện ít nhất có thể? Thế là khái niệm cơ số được sinh ra.

Cơ số

Hiểu về khái niệm cơ số:

Để hiểu được khái niệm gây khá nhiều bối rối này, chúng ta bàn một chút về cách đếm hiện nay. Với chúng ta, mỗi khi đếm, cứ đủ mười thì được một chục, tiếp tục đêm đủ mười nữa, thì ta được hai chục,...và khi đủ mười chục thì được một trăm, mười trăm thì bằng một ngàn, mười ngàn thì là một vạn, mười vạn chính bằng một ức,... Kiểu đếm này bất cứ ai cũng đã được học ngay từ khi còn nhỏ. Thế nhưng, con người ở một số nền văn minh cổ đại xa xưa cũng như vài tộc người ngày nay lại có kiểu đếm khác. "Chục" của họ không hẳn là mười, chẳng hạn với "chục" là tám thì:

- - 8 là một "chục"
- - 16 bằng hai lần tám nghĩa là hai "chục"
- - 24 là ba "chục"

Như vậy, có thể hiểu rằng hệ cơ số n là một kiểu đếm mà mỗi "chục" bằng n.

Các cơ số phổ biến thường gặp:

Cơ số mười

Nó còn được thế hiện qua đơn vị đo lường quốc tế về khoảng cách và khối lượng: hệ mét và kilogam. Cứ đủ mười đơn vị sẽ cho ra một cho đơn vị lớn hơn ngay trước đó. Tại sao cơ số mười lại được con người chúng ta ưu ái đền thế? Hầu như mọi dân tộc, hầu hết mọi người đều đếm theo cơ số mười từ nhỏ. Tại sao không phải là một cơ số nào đó khác? Có phải vì bàn tay chúng ta có mười ngón nên cơ số này hỗ trợ tốt cho việc đếm? Hay vì mười là cơ số có lợi cho việc thực hiện phép tính, nhất là khi nhân với mười hay một lũy thừa của mười? Những câu hỏi như thế này thường ít khi được nêu ra vì đếm theo mười là một điều quá hiển nhiên, không có gì phải thắc mắc.

Sự thực thì cơ số mười không tốt cho việc tính toán hơn so với những cơ số khác, chẳng hạn như cơ số mười hai. Mười chỉ chia hết cho hai và năm, trong khi mười hai thì chia hết cho hai, ba, bốn và sáu. Vì thế, đếm và tính theo cơ số mười hai vượt trội hơn rất nhiều so với cơ số mười, nhất là trong việc phân chia: phân nửa, một phần ba, phần tư, thậm chí cả phần sáu. Thế thì mười là cơ số có lợi cho việc tính toán không phải là câu trả lời thỏa đáng. Vậy thì chắc là do bàn tay con người có mười ngón. Trong trường hợp chỉ có tám ngón thôi thì liệu chúng ta có đếm theo cơ số tám? Hay vẫn cứ luôn là cơ số mười? Thật khó lòng mà biết được, nhưng khả năng cao sẽ là cơ số tám. Nếu quả đúng vậy thì thật lạ, tư duy Toán học của chúng ta, như bạn đã biết, hình thành từ việc đếm, lại phụ thuộc vào cấu trúc sinh học cơ thể, cấu trúc này lại hình thành từ hàng loạt quá trình ngẫu nhiên và tiến hóa. Sinh học đã tác động đến Toán học theo cách không thể ngờ. Toán học ra đời từ chính bàn tay của chúng ta theo đúng nghĩa đen như vậy. Quả thực, khi ngẫm nghĩ về điều này, chúng ta không khỏi có một cảm giác kì lạ và bối rối. Trong khoa học, khi truy nguyên tận cùng gốc rễ vấn đề thì câu trả lời nhận được sẽ như một chiếc búa tạ đập thẳng vào tâm thức khiến ta phải choáng váng.

Nguồn https://www.history-of-mathematics.org/

Đây là trích đoạn từ De Temporum Ratione. Trong chương đầu tiên của De Temporum Ratione, mang tên "Tính toán hoặc nói chuyện bằng ngón tay", đã mô tả một hình thức đếm bằng ngón tay.

(hệ thập phân) là vô cùng phổ biến.

- Phổ biến thứ hai sau cơ số mười là

cơ số mười hai

Mười hai bằng một tá, kiểu đếm này vẫn còn được dùng, điển hình là số lượng trứng và vài trường hợp ở các nước Anh, Mỹ. Thời cổ đại, người Sumer chia một ngày làm mười hai danna, một danna tương ứng hai giờ đồng hồ hiện nay; họ cũng chia một đường tròn làm mười hai phần bằng nhau, mỗi cung có số đo 30°.

Vì sao lại là con số mười hai? Cũng như cơ số mười, nguồn gốc của nó cũng có thể tạm giải thích theo chính bàn tay con người. Bốn ngón gồm ngón trỏ, ngón giữa, ngón áp út và ngón út, mỗi ngón được chia làm ba đốt, tổng cộng mười hai đốt, riêng ngón cái có chức năng chỉ lần lượt mỗi mười hai đốt này khi đếm. Đếm theo kiểu này rất thuận tiện vì chỉ cần một tay, tay còn lại có thể ghi chép lại số liệu. Bàn tay người vẫn chỉ là một giả thuyết cho việc sử dụng cơ số mười hai, một lời giải thích đơn giản hơn có thể là bởi sự thuận tiện trong tính toán của cơ số mười hai.

Cơ số sáu mươi

Cơ số 60 là một trong những phương pháp đếm cổ xưa của con người, có nguồn gốc từ người Semite cổ đại vào thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên và sau đó được truyền bá sang Babylon và những nơi khác.

Lý do tại sao 60 được sử dụng thay vì các số khác có thể là do 60 là một số tương đối nhỏ và có thể được chia thành 10 thừa số thực của 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 và 30 điều này làm cho hệ đếm cơ số 60 linh hoạt hơn cho các tính toán khác nhau.

Nhà thiên văn học người Hy Lạp Eratosthenes đã sử dụng số thập lục phân để tạo ra một hệ thống địa lý vĩ độ với việc chia một vòng tròn thành 60 phần và một hệ thống các đường kinh độ bao phủ 360 độ và chạy từ bắc xuống nam, nối từ cực này sang cực kia.

(hệ lục thập phân).

- Trong thời đại công nghệ thông tin đang phát triển mạnh mẽ, hệ đếm

cơ số hai

Cơ số hai được sử dụng rộng rãi vì nó gắn liền với hoạt động của máy tính điện tử. Tuy nhiên, ngay từ thời xa xưa, những thổ dân Queensland cũng đã sử dụng hệ đếm này.

(gọi là hệ nhị phân).

- Ngoài ra hệ đếm

cơ số năm

Cơ số năm cũng được dùng ở một số vùng khác như tộc người Yukaghir ở Siberia. Cho đến đầu thế kỉ mười chín, lịch nông nghiệp của Đức vẫn còn dùng hệ ngũ phân!

(gọi là hệ ngũ phân).

Sự ra đời của số 0 và số âm

Trong khi một vài thế kỷ trước người Hy Lạp còn gặp khó khăn trong việc chấp nhận 1 là một con số, hãy tưởng tượng việc gắn tên "số" cho một điều không tồn tại tạo nên một cuộc các mạng thế nào. Vậy thì đối với số 0 lại càng khó khăn để chấp nhận hơn.
Số 0 được coi là một trong những khám phá vĩ đại nhất trong lịch sử loài người. Cho đến khi phát hiện ra số 0, việc thực hiện ngay cả những phép tính số học cơ bản cũng là rất khó khăn đối với con người.
Việc ta hiểu được số 0 phức tạp hơn bạn tưởng: ta không hề gặp "số không" trong tự nhiên để nó có thể hữu hình, dễ hiểu. Bất cứ số tự nhiên nào lớn hơn không đều có ví dụ thực hiện: một con khỉ, hai con ong, ba trái đào hay bốn bông hoa. Nhưng "không" thì sao? Phải có chút nhận thức để nhận ra cái vô hình cũng là cái hữu hình, trong hư có thực, "không có gì" cũng là một cái gì đó.
"Số không tồn tại trong não bộ chúng ta chứ không thuộc về cảm giác", Robert Kaplan, giáo sư toán học tại Harvard và tác giả cuốn sách về con số không, nói với tạp chí Vox.
Trong cuốn "Chữ số và Thế giới - Nguồn gốc bị lãng quên" của Đỗ Minh Triết trang 323 có khẳng định: "Vậy là Ấn Độ đã có hệ ghi số hoàn chỉnh, đơn giản, hữu hiệu nhất của nhân loại: hệ ghi số gồm mười chữ số gán cho số 0 và chín số đếm đầu tiên, số được ghi theo quy tắc vị trí định lượng cơ số 10. Ấn Độ chính là tác giả độc lập của phát minh vĩ đại này, không phải Hy Lạp, không phải La Mã, Maya hay Babylon và cũng không phải của Ả Rập Hồi giáo."

Trước người Ấn Độ, vài dân tộc đã từng manh nha suy nghĩ ấy, nhưng không ai thành công được đến cùng. Người Lưỡng Hà, kể từ từ thế kỉ thứ 3 trước Công nguyên, là người đầu tiên phát minh ra một số 0. Trước đó, hệ số đếm của họ biểu diễn những số như 25 và 250 theo cùng một cách. Nhờ có số 0 chỉ một vị trí trống, nhiều khả năng nhầm lẫn đã bị loại bỏ. Tuy vậy, người Babylon lại không coi ký tự 0 này như một con số có thể đứng một mình để biểu diễn sự thiếu vắng của đối tượng.
Ở nửa kia của thế giới, người Maya cũng đã phát minh ra số không. Họ thậm chí còn phát minh ra hai số không! Số thứ nhất, như của người Babylon, chỉ có công dụng là để đánh dấu vị trí trống trong hệ nhị thập phân của họ. Số thứ hai, ngược lại, có thể thực sự được coi là một số nhưng chỉ được sử dụng trong lịch của họ. Mỗi tháng trong lịch Maya có hai mươi ngày được đánh số từ 0 đến 19. Số không này đứng một mình, tuy nhiên không có tính chất toán học. Người Maya chưa bao giờ sử dụng nó trong các phép tính số học.

Năm 628, nhà thiên văn học - toán học

Brahmagupta

Brahmagupta (khoảng 598 - 668 CN) là Nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta đã phát minh ra các quy tắc cộng, trừ và nhân với số 0 và số âm trong quyển sách Brahma Sphuta Siddhanta. Ông cũng là một nhà thiên văn học và thực hiện nhiều khám phá khác trong toán học. Thật không may, các bài viết của anh ấy không chứa bất kỳ bằng chứng nào, vì vậy chúng tôi không thể biết được kết quả của anh ấy như thế nào.

(598 - 668) là người đầu tiên nêu lên các quy tắc tính toán trong hệ ghi số có số 0 trong quyển sách

Brahma Sphuta Siddhanta

Nội dung sách gồm 24 chương với 1 008 câu hoàn toàn là thơ ca viết bằng tiếng Sanskrit, không chứa bất kỳ một ký hiệu toán học nào. Số 0 vẫn được gọi là sunya, nó có tính chất:

Thêm hay bớt sunya từ một số thì con số vẫn không thay đổi, nhân một số với sunya thì kết quả nhận được là sunya.

Xa hơn nữa, Brahmagupta còn chỉ ra khái niệm số âm, số dương qua mô hình khoản nợ và tài sản:

- Một khoản nợ trừ đi sunya vẫn là một khoản nợ.
- Tài sản trừ đi sunya vẫn là tài sản.
- sunya trừ đi sunya vẫn là sunya.
- Một khoản nợ được trừ đi từ sunya trở thành tài sản.
- Tài sản được trừ đi từ sunya trở thành một khoản nợ.
- Nhân tài sản hay khoản nợ với sunya thì thành sunya.
- sunya nhân với sunya vẫn là sunya.
- Tài sản chia thành những tài sản vẫn là những tài sản (nhỏ hơn).
- Tài sản chia ra các khoản nợ thì thành những khoản nợ

Chưa dừng lại ở đó, quyền sách còn bàn về căn bậc hai, căn bậc ba, phương trình tuyến tính, phương trình nghiệm nguyên, bộ ba Pythagoras, phân số, công thức nội suy, hình học, và đặc biệt nhất là số r. Ở thời đại chữ số chỉ mới hình thành mà Brahmagupta đã có những khám phá toán học như thế đủ để đưa ông vào danh sách những khoa học gia xuất chúng nhất nhân loại thời bấy giờ. Tuy nhiên, Brahmagupta cũng có nhận định sai lầm về số 0: sunya chia cho sunya thì vẫn là sunya.

(Sự hình thành của Vũ trụ).

Ý nghĩa của số 0

Số không mở ra cánh cửa đến với các số âm. Tuy vậy, phải mất một thời gian dài các nhà toán học mới thực sự chấp nhận chúng.
Giới học giả Trung Quốc là những người đầu tiên mô tả những số lượng có thể liên quan đến số âm. Trong những lời bàn ở "Cửu chương toán thuật", Lưu Huy đã mô tả một hệ thống các thanh màu cho phép biểu diễn những số lượng dương hoặc âm. Mỗi thanh đỏ biểu trưng cho một số dương, mỗi thanh đen biểu trưng cho một số âm. Lưu Huy đã giải thích cụ thể hai loại số này tương tác với nhau như thế nào, và đặc biệt là việc chúng cộng vào hoặc trừ với nhau ra sao.

Tại sao trừ với trừ thành cộng

Quy tắc của việc nhân các dấu, ban đầu hẳn là khá kỳ quặc, lại hoàn toàn có nghĩa nếu ta nhớ lại hệ thống các thanh màu được phát minh bởi các học giả Trung Quốc. Ví dụ sử dụng hệ thống này để biểu diễn cho sự lời lỗ về tiền bạc.

Giả sử một thanh đen tượng trưng cho 5€ trong khi một thanh xám tượng trưng cho một món nợ 5€, nghĩa là -5€. Nếu bạn có 10 thanh đen và 5 thanh xám, khoản tiền của bạn sẽ là 25€.

10 x 5€ = 50€ 5 x (-5€) = -25€ Bây giờ hãy nghiên cứu những trường hợp khác nhau có thể xảy ra khi tài khoản của bạn thay đổi. Và hãy đưa về phép tính nhé!

a) Giả sử bạn bổ sung thêm 4 thanh đen, vậy số tiền bạn là bao nhiêu?
b) Nếu bây giờ người ta đưa cho bạn 4 thanh xám, số tiền của bạn là bao nhiêu?
c) Nếu người ta đưa bạn 4 thanh xám, số tiền của bạn là bao nhiêu?
d) Khoản tiền của bạn sẽ thế nào nếu người ta lấy đi của bạn 4 thanh xám?

Thấy rằng, đối với câu a), số tiền của bạn có sẽ tăng thêm 20€. Nói cách khác: 4 x 5 = 20. Tích của hai số dương vẫn là số dương, đến đây mọi thứ đều ổn.

Đối với câu b) Nếu bây giờ người ta đưa cho bạn 4 thanh xám, nghĩa là bốn khoản nợ, khoản tiền sẽ giảm đi 20€. Nói cách khác: 4 x (-5) = -20. Một số dương nhân với một số âm sẽ cho ra một số âm.

Và tương tự, câu c) nếu người ta lấy của bạn 4 thanh đen, bạn sẽ mất 20€. Cũng có nghĩa là (-4) x 5 = -20. Hai trường hợp b) và c) chứng tỏ rằng việc đưa ai một khoản nợ thì cũng cùng tác dụng với việc đang lấy tiền từ người đó. Thêm số âm tức là trừ đi số dương.

Giờ hãy tới điểm mấu chốt là câu d): khoản tiền của bạn sẽ thế nào nếu người ta lấy đi của bạn 4 thanh xám?

Nói cách khác, chuyện gì sẽ xảy ra nếu người ta xóa bỏ những khoản nợ của bạn? Câu trả lời rất rõ ràng: số tiền bạn có sẽ tăng lên, bạn sẽ có thêm tiền. Nói cách khác (-4) x (-5) = 20. Bỏ số âm tức là thêm sỡ dương! Trừ với trừ bằng cộng.

Sự xuất hiện của số âm cũng đảo lộn ý nghĩa của phép cộng và phép trừ. Vì cộng một số âm có nghĩa là trừ một số dương, hai thao tác này mất đi ý nghĩa mà chúng có trong ngôn ngữ thường ngày. Cộng thường đồng nghĩa với tăng lên. Tuy nhiên, nếu tôi cộng một số với (-3), cũng có nghĩa là tôi trừ đi 3. Chúng ta đang đặt cùng một cái tên cho hai thứ khác nhau. Với các số âm, phép cộng và phép trừ trở thành hai mặt của cùng một thao tác.
Sự lẫn lộn từ ngữ này và những thứ trông có vẻ nghịch lý, như "trừ x trừ = cộng", đã làm chậm đi đáng kể quá trình chấp nhận những số âm. Rất lâu sau Brahmagupta, nhiều học giả vẫn tiếp tục coi thường những con số cực kỳ tiện lợi nhưng lại khó nắm bắt này. Vài người gọi chúng là những "con số phi lý" và chỉ áp dụng chúng trong những phép tính trung gian với điều kiện là chúng sẽ không xuất hiện trong kết quả cuối cùng. Phải đến thế kỉ 19, thậm chí là thế kỉ 20 thì tính chính đáng và công dụng của chúng mới chính thức được chấp nhận.

Sự xuất hiện của số hữu tỉ

Sự ra đời của số hữu tỉ xuất phát từ nhu cầu giải quyết các vấn đề thực tiễn và toán học trong đời sống.

Đầu tiên đó là nhu cầu

đo lường chính xác trong thực tế

MỘT VÀI VẤN ĐỀ CỦA THỜI ĐẠI

Từ những bài toán về ruộng đất, kiến trúc, hay khái quát hơn, về quy hoạch không gian, các nhà bác học thời kỳ cổ đại đã đặt ra những vấn đề hình học rất đa dạng.

Đề bài sau, trích từ bản khắc văn tự BM 85200 của người Babylon, cho thấy người Babylon không hề dừng lại ở hình học mặt phẳng mà còn vươn đến cả hình học không gian.

Một tầng hầm. Chiều dài bằng chiều sâu. 1 [đơn vị], Tôi đào dưới đất. Nền nhà của tôi và khoảng đất tôi đắp lên, 1'10. Chiều dài và mặt tiền, '50. Chiều dài, mặt tiền, bao nhiêu?

Lưu ý rằng với hệ thống có cơ số sáu mươi, kí hiệu 1'10

Bạn sẽ thấy các nhà toán học Babylon dùng ngôn ngữ điện báo. Cụ thể, nội dung của đề bài trên có thể hiểu như sau:

Chiều sâu của một tầng hầm gấp mười hai lần chiều dài của nó. Nếu tôi đào căn hầm sâu thêm một đơn vị, thể tích của nó sẽ bằng $7/6$ . Nếu tôi cộng chiều dài và chiều rộng, tôi sẽ thu được $5/6$ . Các kích thước của căn hầm là bao nhiêu?

Bài toán này được viết kèm với một lời giải cụ thể dẫn tới câu trả lời là chiều dài bằng $1/2$ , chiều rộng bằng $1/3$ và chiều sâu bằng 6.

Bây giờ hãy cùng dạo qua phía

sông Nile

Sông Nile là con sông dài nhất thế giới, chảy qua vùng Đông Bắc châu Phi với tổng chiều dài khoảng 6.650 km. Sông bắt nguồn từ khu vực Hồ Victoria và chảy qua 11 quốc gia, trong đó có Ai Cập, Sudan, và Uganda, trước khi đổ ra Địa Trung Hải. Nile đóng vai trò quan trọng trong lịch sử và văn hóa của Ai Cập cổ đại, là nguồn cung cấp nước chính cho nông nghiệp, giao thông và đời sống cư dân trong khu vực.

một chút.

Lẽ tất nhiên, ở vùng đất của người Ai Cập, ta sẽ gặp những bài toán về kim tự tháp. Đề bài tiếp theo đây được trích từ một quyển sách giấy cói nổi tiếng được viết bởi viên thư lại Ahmes, có niên đại vào nửa đầu thế kỉ 16 trước Công nguyên.

Một kim tự tháp có cạnh đáy bằng 140 cẳng tay và độ dốc bằng 5 gang tay và 1 ngón tay, có độ cao là bao nhiều?

Cẳng tay, gang tay và ngón tay là các đơn vị đo lường lần lượt tương ứng với 52,5 xentimét, 7,5 xentimét và 1,88 xentimét. Ahmes đã đưa ra lời giải: 93 cẳng tay $1/3$ . Trong sách giấy cói này, ông cũng thử sức với hình tròn.

Và còn nhiều bài toán khác nữa. Các bạn có thể tìm đọc thêm ở cuốn sách "Toán học - Một thiên tiểu thuyết" của Mickael Launay.

Bạn cũng có thể tham khảo thêm câu chuyện "Cánh tay, gang tay và bàn tay" và "Một lý do tốt để yêu người Pháp"

Trong các hoạt động đời sống như đo chiều dài, diện tích, khối lượng, hoặc chia sẻ tài sản, các số nguyên không thể đáp ứng hết nhu cầu. Ví dụ, việc chia một chiếc bánh cho 3 người dẫn đến phần chia không thể biểu diễn bằng số nguyên, mà cần đến các phân số như $\dfrac{1}{3}$ .
Từ nhu cầu về đo lường đó thì hình học và toán học cũng phát triển một cách mạnh mẽ.
Người Hy Lạp cổ đại, đặc biệt là nhà toán học Pythagoras và các học trò của ông, đã nghiên cứu hình học và phát hiện rằng nhiều tỷ lệ giữa các đoạn thẳng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Điều này thúc đẩy sự ra đời và phát triển của khái niệm số hữu tỉ.
Hệ thống số hữu tỉ được dùng để biểu diễn các tỷ lệ trong hình học, chẳng hạn như các tỷ lệ trong tam giác hay giữa các cạnh của hình chữ nhật.

Sự ra đời của số vô tỉ

Cũng như sự ra đời của số hữu tỉ, số vô tỉ ra đời vì nhu cầu đo lường của xã hội.

Người Pythagoras ở Hy Lạp, những người theo học nhà toán học và triết gia nổi tiếng Pythagoras, là những người đầu tiên phát hiện ra các số không phải là số hữu tỷ, vào khoảng năm 400 TCN. Những số này được gọi là

số vô tỷ

(irrationals), vì chúng không thể được viết dưới dạng tỉ số của hai số nguyên. Có rất nhiều câu chuyện huyền thoại xoay quanh việc phát hiện ra số vô tỷ của nhà toán học Pythagoras, Hippacus thành Croton. Trong tất cả các câu chuyện, Hippacus gặp một kết cục không may, hoặc vì phát hiện ra rằng

$\sqrt{2}$

là số vô tỷ, hoặc vì tiết lộ bí mật về

$\sqrt{2}$

ra bên ngoài hội kín Pythagoras.

Thời hiện đại

Thế kỷ 19

Bài báo của

Georg Cantor

Georg Cantor (1845-1918) là nhà toán học người Đức, sáng lập lý thuyết tập hợp hiện đại. Ông phát hiện ra tập hợp vô hạn có thể có kích thước khác nhau và giới thiệu khái niệm về số cardinal và số siêu hạn, mở đường cho nghiên cứu về tập hợp vô hạn và lý thuyết tập hợp.

công bố năm 1874, "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Về một thuộc tính của tập hợp tất cả số đại số thực"), đã đánh dấu sự ra đời của lý thuyết tập hợp như một nhánh của toán học. Ông đã giới thiệu khái niệm về

tập hợp

Cantor đã định nghĩa một tập hợp là một tập hợp các đối tượng duy nhất và khác nhau và các phép toán tập hợp cơ bản của Cantor: Hợp tập, Giao tập, Hiệu tập, Tập con, như ta đã biết hiện nay:

- Hợp tập (Union): Nếu $A$ và $B$ là hai tập hợp, thì hợp tập $A \cup B$ là tập hợp tất cả các phần tử thuộc $A$ hoặc $B$ , không trùng lặp.
- Giao tập (Intersection): Giao tập $A \cap B$ là tập hợp tất cả các phần tử mà $A$ và $B$ cùng chia sẻ.
- Hiệu tập (Difference): Hiệu tập $A \setminus B$ là tập hợp tất cả các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ .
- Tập con (Subset): Một tập hợp $A$ là một tập con của tập hợp $B$ (ký hiệu $A \subset B$ ) nếu mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$ .

(set) trong toán học, coi tập hợp là một tập hợp các đối tượng hoặc phần tử mà có thể được xác định rõ ràng. Cantor không chỉ khái quát hóa các tập hợp hữu hạn mà còn mở rộng ra

tập hợp vô hạn

Lý thuyết tập hợp vô hạn: Một trong những đóng góp quan trọng của Cantor là sự phân biệt giữa các loại vô hạn. Ông phát hiện rằng không phải tất cả các tập hợp vô hạn đều có cùng kích thước (số lượng phần tử). Cantor đưa ra khái niệm về số siêu hạn (cardinality), trong đó có sự phân biệt giữa tập hợp đếm được (countably infinite) như tập các số tự nhiên và tập hợp không đếm được (uncountably infinite) như tập các số thực.

Khi Vô Hạn Không Bằng Vô Hạn

- Tập các số thực $\reals$ lại không thể đếm được. Điều này được chứng minh qua định lý Cantor rằng không thể thiết lập một ánh xạ một-một giữa tập $\N$ và $\reals$ .

Định lý Cantor, hay còn gọi là Định lý Cantor về chiều của tập hợp, là một trong những phát hiện quan trọng của Georg Cantor trong lý thuyết tập hợp. Định lý này chứng minh rằng:

"Không có ánh xạ (hàm) một-một từ một tập hợp vô hạn vào một tập hợp con của nó mà phủ định."

Cụ thể, định lý này cho biết rằng:

Tập hợp số thực ( $\reals$ ) có nhiều phần tử hơn tập hợp số tự nhiên ( $\N$ ), mặc dù cả hai đều là vô hạn. Điều này có nghĩa là tập hợp các số thực là một tập hợp vô hạn lớn hơn so với tập hợp các số tự nhiên.
Tập hợp vô hạn không thể có cùng số phần tử với một tập con của nó. Tức là không thể tìm một ánh xạ một-một từ một tập hợp vô hạn vào một tập con của nó. Nếu có một ánh xạ như vậy, thì ánh xạ đó không thể là khả nghịch (không thể đảo ngược được).

Cuối thế kỷ 19 - Đầu thế kỷ 20

- Phổ biến thứ hai sau cơ số mười là

Gottlob Frege

Gottlob Frege (1848 - 1925) được xem là người sáng lập ra logic học hiện đại. Trong công trình nổi tiếng của ông, "Begriffsschrift" (1879), ông đã đưa ra một hệ thống logic đại số để hình dung và mô tả các khái niệm toán học. Ông đã phát triển phép tính tâm lý học (predicate calculus), một nền tảng cơ bản của logic toán học hiện đại.

sử dụng khái niệm "tập hợp" trong lý thuyết của ông, đặc biệt là trong cách ông định nghĩa khái niệm. Theo ông, một khái niệm toán học là một tập hợp của các đối tượng thỏa mãn một thuộc tính cụ thể. Ví dụ, "tập hợp tất cả các số chẵn" là một tập hợp mà phần tử của nó là những số tự nhiên chẵn.

Ông không chỉ định nghĩa tập hợp như là một tập hợp các đối tượng vật lý mà ông coi tập hợp là một đối tượng toán học chính thống, có thể được mô tả và sử dụng trong các phép toán toán học. Ông tin rằng lý thuyết tập hợp của ông có thể giúp xác định một cách chính xác các khái niệm trong toán học.

Tuy nhiên, lý thuyết tập hợp của Frege gặp phải một vấn đề lớn khi

Bertrand Russell

Bertrand Russell (1872-1970) là một triết gia, toán học gia, và nhà logic học người Anh, nổi tiếng với công trình trong triết học phân tích và lý thuyết logic. Ông là đồng sáng lập Trường phái logic học phân tích và đóng góp quan trọng vào sự phát triển của logic toán học. Russell cùng Alfred North Whitehead viết tác phẩm Principia Mathematica (1910-1913), một công trình nền tảng về logic và toán học. Ông cũng nổi tiếng với các quan điểm về triết học đạo đức, chính trị và xã hội. Russell giành giải Nobel Văn học năm 1950 vì những đóng góp vào tư tưởng triết học.

phát hiện ra

nghịch lý Russell

Nghịch lý Russell là một trong những mâu thuẫn quan trọng nhất trong lý thuyết tập hợp, được Bertrand Russell phát hiện vào năm 1901. Nghịch lý này liên quan đến tập hợp chứa chính nó như một phần tử. Cụ thể, nếu ta định nghĩa tập hợp $\reals$ là tập hợp của tất cả các tập hợp không phải là phần tử của chính nó, thì câu hỏi đặt ra là: liệu $\reals$ có phải là phần tử của chính nó không?

- Nếu $\reals \in \reals$ , thì theo định nghĩa $\reals$ phải không phải là phần tử của chính nó, điều này mâu thuẫn.
- Nếu $\reals \notin \reals$ , thì theo định nghĩa, $\reals$ phải là phần tử của chính nó, lại dẫn đến mâu thuẫn.

Hệ quả của nghịch lý:

Sau khi nghịch lý Russell được phát hiện, Frege nhận ra rằng lý thuyết tập hợp của ông không thể hoạt động như một nền tảng vững chắc cho toán học. Trong một lá thư gửi Russell, Frege đã thể hiện sự thất vọng sâu sắc về việc lý thuyết của ông bị phá vỡ.

Nghịch lý này là một trong những lý do quan trọng dẫn đến sự phát triển của các lý thuyết tập hợp sau này, chẳng hạn như lý thuyết tập hợp tiên đề Zermelo-Fraenkel, được phát triển bởi Ernst Zermelo và Abraham Fraenkel vào những năm 1920 để tránh các nghịch lý như của Frege và Russell. Zermelo-Fraenkel sử dụng các tiên đề để hạn chế các tập hợp không hợp lệ và bảo vệ lý thuyết tập hợp khỏi các nghịch lý.

vào năm 1901. Nghịch lý này xuất hiện trong lý thuyết của Frege khi ông cố gắng định nghĩa tập hợp của tất cả các tập hợp không phải là phần tử của chính nó.

Và để giải quyết vấn đề nghịch lý này thì nhà toán học

Ernst Zermelo

Ernst Zermelo (1871 - 1953) là một nhà toán học người Đức nổi tiếng với các đóng góp trong lý thuyết tập hợp, đặc biệt là việc phát triển Axiom of Choice (Tiên đề chọn), một tiên đề quan trọng trong lý thuyết tập hợp hiện đại. Ông cũng là người đề xuất hệ thống tiên đề Zermelo-Fraenkel để xây dựng lý thuyết tập hợp vững chắc, với Zermelo-Fraenkel + Axioms of Choice, viết tắt là ZFC, là hệ thống tiên đề phổ biến nhất hiện nay trong toán học.

và

Abraham Fraenkel

Abraham Fraenkel (1891 - 1965) là một nhà toán học người Đức, nổi tiếng với việc phát triển hệ thống tiên đề Zermelo-Fraenkel cho lý thuyết tập hợp, trong đó các tiên đề này giúp xây dựng nền tảng toán học vững chắc, đồng thời giải quyết một số vấn đề trong lý thuyết tập hợp mà Zermelo chưa hoàn chỉnh.

đã xây dựng Lý thuyết tập hợp

tiên đề Zermelo-Fraenkel

Hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, viết tắt là ZF, bao gồm các tiên đề cơ bản đảm bảo rằng các tập hợp có thể được xây dựng một cách hợp lý mà không gặp phải nghịch lý. Một trong những tiên đề quan trọng trong lý thuyết này là tiên đề tập hợp trống và tập hợp con.

Tiên đề Zermelo-Fraenkel:

- Tiên đề tập hợp trống: Có tồn tại một tập hợp không có phần tử nào (tập hợp rỗng, ký hiệu $\varnothing$ ).
- Tiên đề hình thành: Nếu $A$ là tập hợp, thì tồn tại một tập hợp con của A có các phần tử là các tập hợp con của các phần tử trong $A$ .
- Tiên đề lựa chọn: Tiên đề này cho phép chọn phần tử từ mỗi tập hợp không rỗng. Đây là một tiên đề quan trọng trong lý thuyết tập hợp, mặc dù đôi khi nó có thể dẫn đến các kết quả phi trực quan.

. Đây là một hệ thống tiên đề được phát triển vào những năm 1920 để giải quyết các vấn đề và nghịch lý trong lý thuyết tập hợp, đặc biệt là nghịch lý Russell. Hệ thống này được xây dựng bởi Ernst Zermelo và sau đó được mở rộng bởi Abraham Fraenkel. Mục tiêu của lý thuyết này là tạo ra một nền tảng logic vững chắc cho lý thuyết tập hợp mà không gặp phải các nghịch lý như trong lý thuyết tập hợp trước đó của Frege.

Thế kỷ 20 - Lý thuyết tập hợp và các phép toán nâng cao

Khái niệm về thứ tự và số hạng (Ordinal and Cardinal Numbers):
- - Trong lý thuyết tập hợp, số hạng (ordinal numbers) dùng để chỉ thứ tự của các phần tử trong một tập hợp (ví dụ: "phần tử thứ nhất", "phần tử thứ hai",...).
- - Số cardinal là một khái niệm quan trọng dùng để chỉ kích thước hoặc số lượng phần tử của một tập hợp. Số cardinal có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.

Lý thuyết mô hình

Lý thuyết mô hình (Model Theory) là một nhánh của logic toán học nghiên cứu về mối quan hệ giữa các hệ thống lý thuyết (hay lý thuyết, tức là các tập hợp các tiên đề và định lý) và các mô hình của chúng (tức là các cấu trúc toán học mà trong đó các định lý của lý thuyết được thỏa mãn). Trong lý thuyết mô hình, "mô hình" là một cấu trúc toán học được thiết lập để kiểm tra tính hợp lý của các lý thuyết, và các lý thuyết có thể có nhiều mô hình khác nhau.

Khái niệm cơ bản trong Lý thuyết Mô hình:

Lý thuyết (Theory): Là một tập hợp các tiên đề hoặc định lý. Ví dụ, lý thuyết về nhóm (group theory) chứa các tiên đề về nhóm, như tính chất đóng, tính chất nghịch đảo, v.v.
Mô hình (Model): Là một cấu trúc toán học thỏa mãn các tiên đề của lý thuyết. Ví dụ, tập hợp các số nguyên dưới phép cộng và phép nhân có thể là một mô hình của lý thuyết nhóm.
Khái niệm đồng nhất (Isomorphism): Hai mô hình được gọi là đồng nhất nếu có một phép ánh xạ một-một giữa chúng mà bảo toàn cấu trúc của lý thuyết. Điều này có nghĩa là các mô hình này "giống nhau" về mặt lý thuyết, mặc dù có thể có các cấu trúc khác nhau.

Ứng dụng trong lý thuyết tập hợp:

Trong lý thuyết tập hợp, lý thuyết mô hình có những ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu các mô hình của lý thuyết tập hợp và các cấu trúc trong đó các tiên đề của lý thuyết tập hợp được thỏa mãn.

Mô hình của lý thuyết tập hợp ZFC: Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel với Axiom of Choice, viết tắt là ZFC, là lý thuyết chính trong lý thuyết tập hợp hiện đại. Các mô hình của ZFC là các cấu trúc tập hợp trong đó tất cả các tiên đề của ZFC đều đúng. Ví dụ, một mô hình của lý thuyết ZFC có thể là một tập hợp các tập hợp trong đó tất cả các định lý của ZFC được thỏa mãn.
Các mô hình của lý thuyết tập hợp và các vấn đề như tính không đầy đủ: Lý thuyết mô hình giúp nghiên cứu về khả năng tồn tại các mô hình khác nhau của lý thuyết tập hợp. Cantor đã chỉ ra sự tồn tại của các tập hợp vô hạn, và lý thuyết mô hình có thể được sử dụng để nghiên cứu các mô hình của lý thuyết tập hợp, chẳng hạn như việc liệu một mô hình cụ thể có chứa tất cả các tập hợp mà lý thuyết yêu cầu hay không.
Các mô hình không chuẩn (Nonstandard Models): Lý thuyết mô hình cho phép nghiên cứu các mô hình không chuẩn của lý thuyết tập hợp. Ví dụ, trong lý thuyết tập hợp, có thể tồn tại các mô hình mà trong đó các khái niệm như số thực hay số tự nhiên có thể có những thuộc tính đặc biệt không tồn tại trong các mô hình chuẩn của lý thuyết ZFC. Đây là một ví dụ về việc sử dụng lý thuyết mô hình để mở rộng và kiểm tra các lý thuyết tập hợp.
Định lý bất khả hoàn thành của Gödel: Lý thuyết mô hình cũng liên quan đến định lý bất khả hoàn thành của Gödel, chứng minh rằng không thể có một lý thuyết tập hợp đầy đủ và nhất quán, nghĩa là sẽ luôn có những mệnh đề trong lý thuyết tập hợp mà không thể chứng minh hoặc bác bỏ được. Lý thuyết mô hình giúp nghiên cứu những mô hình mà trong đó các mệnh đề không thể chứng minh hoặc không thể bác bỏ, do đó liên quan đến tính không đầy đủ của lý thuyết tập hợp.
Lý thuyết mô hình và các vấn đề về lựa chọn: Trong lý thuyết tập hợp, các tiên đề Lý thuyết lựa chọn (Axiom of Choice) có ảnh hưởng lớn đến các kết quả. Lý thuyết mô hình có thể được sử dụng để nghiên cứu sự tồn tại của các mô hình trong đó Axiom of Choice được áp dụng và các mô hình không có AC, từ đó mở ra những sự phân biệt và tính chất khác nhau trong lý thuyết tập hợp.

(Model Theory) và ứng dụng trong lý thuyết tập hợp: Vào nửa sau thế kỷ 20, lý thuyết tập hợp trở thành cơ sở cho lý thuyết mô hình, trong đó các mô hình toán học được mô tả bằng các tập hợp và phép toán trên chúng. Lý thuyết mô hình giúp giải quyết các câu hỏi về sự đúng đắn và tính khả thi của các lý thuyết toán học.

Thế kỷ 20 - nay

Khái niệm tập hợp, vốn xuất phát từ toán học trừu tượng, đã sớm vượt khỏi phạm vi lý thuyết thuần túy để trở thành một công cụ tư duy và tổ chức dữ liệu trong khoa học máy tính hiện đại. Trong lập trình, tập hợp giúp máy tính mô phỏng logic phân loại và so sánh của con người, còn trong cơ sở dữ liệu, mỗi bảng có thể được xem như một tập hợp các bộ giá trị, nơi các thao tác như chọn lọc hay liên kết đều phản ánh các phép toán tập hợp.
Lý thuyết đồ thị cũng vận hành trên cơ sở của các tập hợp đỉnh và cạnh, giúp phân tích đo đạc các mạng lưới tàu điện ngầm, cao tốc phức tạp. Lý thuyết đồ thị còn được dùng trong nghiên cứu cấu trúc ba chiều của các phân tử trong vật lý.
Trong khi các lĩnh vực như mã hóa hay lý thuyết thông tin tận dụng tính rời rạc của tập hợp để đảm bảo truyền tải dữ liệu chính xác.