Thời cổ đại

Loài người đã học đếm như thế nào?

Cơ số

• Hiểu về khái niệm cơ số:

• Như vậy, có thể hiểu rằng hệ cơ số n là một kiểu đếm mà mỗi "chục" bằng n.

Sự ra đời của số 0 và số âm

• Trong khi một vài thế kỷ trước người Hy Lạp còn gặp khó khăn trong việc chấp nhận 1 là một con số, hãy tưởng tượng việc gắn tên "số" cho một điều không tồn tại tạo nên một cuộc các mạng thế nào. Vậy thì đối với số 0 lại càng khó khăn để chấp nhận hơn.

• Số 0 được coi là một trong những khám phá vĩ đại nhất trong lịch sử loài người. Cho đến khi phát hiện ra số 0, việc thực hiện ngay cả những phép tính số học cơ bản cũng là rất khó khăn đối với con người.

• Việc ta hiểu được số 0 phức tạp hơn bạn tưởng: ta không hề gặp "số không" trong tự nhiên để nó có thể hữu hình, dễ hiểu. Bất cứ số tự nhiên nào lớn hơn không đều có ví dụ thực hiện: một con khỉ, hai con ong, ba trái đào hay bốn bông hoa. Nhưng "không" thì sao? Phải có chút nhận thức để nhận ra cái vô hình cũng là cái hữu hình, trong hư có thực, "không có gì" cũng là một cái gì đó.

• "Số không tồn tại trong não bộ chúng ta chứ không thuộc về cảm giác", Robert Kaplan, giáo sư toán học tại Harvard và tác giả cuốn sách về con số không, nói với tạp chí Vox.

• Trong cuốn "Chữ số và Thế giới - Nguồn gốc bị lãng quên" của Đỗ Minh Triết trang 323 có khẳng định: "Vậy là Ấn Độ đã có hệ ghi số hoàn chỉnh, đơn giản, hữu hiệu nhất của nhân loại: hệ ghi số gồm mười chữ số gán cho số 0 và chín số đếm đầu tiên, số được ghi theo quy tắc vị trí định lượng cơ số 10. Ấn Độ chính là tác giả độc lập của phát minh vĩ đại này, không phải Hy Lạp, không phải La Mã, Maya hay Babylon và cũng không phải của Ả Rập Hồi giáo."

• Trước người Ấn Độ, vài dân tộc đã từng manh nha suy nghĩ ấy, nhưng không ai thành công được đến cùng. Người Lưỡng Hà, kể từ từ thế kỉ thứ 3 trước Công nguyên, là người đầu tiên phát minh ra một số 0. Trước đó, hệ số đếm của họ biểu diễn những số như 25 và 250 theo cùng một cách. Nhờ có số 0 chỉ một vị trí trống, nhiều khả năng nhầm lẫn đã bị loại bỏ. Tuy vậy, người Babylon lại không coi ký tự 0 này như một con số có thể đứng một mình để biểu diễn sự thiếu vắng của đối tượng.

• Ở nửa kia của thế giới, người Maya cũng đã phát minh ra số không. Họ thậm chí còn phát minh ra hai số không! Số thứ nhất, như của người Babylon, chỉ có công dụng là để đánh dấu vị trí trống trong hệ nhị thập phân của họ. Số thứ hai, ngược lại, có thể thực sự được coi là một số nhưng chỉ được sử dụng trong lịch của họ. Mỗi tháng trong lịch Maya có hai mươi ngày được đánh số từ 0 đến 19. Số không này đứng một mình, tuy nhiên không có tính chất toán học. Người Maya chưa bao giờ sử dụng nó trong các phép tính số học.

• Số không mở ra cánh cửa đến với các số âm. Tuy vậy, phải mất một thời gian dài các nhà toán học mới thực sự chấp nhận chúng.

• Giới học giả Trung Quốc là những người đầu tiên mô tả những số lượng có thể liên quan đến số âm. Trong những lời bàn ở "Cửu chương toán thuật", Lưu Huy đã mô tả một hệ thống các thanh màu cho phép biểu diễn những số lượng dương hoặc âm. Mỗi thanh đỏ biểu trưng cho một số dương, mỗi thanh đen biểu trưng cho một số âm. Lưu Huy đã giải thích cụ thể hai loại số này tương tác với nhau như thế nào, và đặc biệt là việc chúng cộng vào hoặc trừ với nhau ra sao.

• Sự xuất hiện của số âm cũng đảo lộn ý nghĩa của phép cộng và phép trừ. Vì cộng một số âm có nghĩa là trừ một số dương, hai thao tác này mất đi ý nghĩa mà chúng có trong ngôn ngữ thường ngày. Cộng thường đồng nghĩa với tăng lên. Tuy nhiên, nếu tôi cộng một số với (-3), cũng có nghĩa là tôi trừ đi 3. Chúng ta đang đặt cùng một cái tên cho hai thứ khác nhau. Với các số âm, phép cộng và phép trừ trở thành hai mặt của cùng một thao tác.

• Sự lẫn lộn từ ngữ này và những thứ trông có vẻ nghịch lý, như "trừ x trừ = cộng", đã làm chậm đi đáng kể quá trình chấp nhận những số âm. Rất lâu sau Brahmagupta, nhiều học giả vẫn tiếp tục coi thường những con số cực kỳ tiện lợi nhưng lại khó nắm bắt này. Vài người gọi chúng là những "con số phi lý" và chỉ áp dụng chúng trong những phép tính trung gian với điều kiện là chúng sẽ không xuất hiện trong kết quả cuối cùng. Phải đến thế kỉ 19, thậm chí là thế kỉ 20 thì tính chính đáng và công dụng của chúng mới chính thức được chấp nhận.

Sự xuất hiện của số hữu tỉ

• Sự ra đời của số hữu tỉ xuất phát từ nhu cầu giải quyết các vấn đề thực tiễn và toán học trong đời sống.

• Trong các hoạt động đời sống như đo chiều dài, diện tích, khối lượng, hoặc chia sẻ tài sản, các số nguyên không thể đáp ứng hết nhu cầu. Ví dụ, việc chia một chiếc bánh cho 3 người dẫn đến phần chia không thể biểu diễn bằng số nguyên, mà cần đến các phân số như $\dfrac{1}{3}$.

• Từ nhu cầu về đo lường đó thì hình học và toán học cũng phát triển một cách mạnh mẽ.

• Người Hy Lạp cổ đại, đặc biệt là nhà toán học Pythagoras và các học trò của ông, đã nghiên cứu hình học và phát hiện rằng nhiều tỷ lệ giữa các đoạn thẳng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Điều này thúc đẩy sự ra đời và phát triển của khái niệm số hữu tỉ.

• Hệ thống số hữu tỉ được dùng để biểu diễn các tỷ lệ trong hình học, chẳng hạn như các tỷ lệ trong tam giác hay giữa các cạnh của hình chữ nhật.

Sự ra đời của số vô tỉ

• Cũng như sự ra đời của số hữu tỉ, số vô tỉ ra đời vì nhu cầu đo lường của xã hội.

Thời hiện đại

Thế kỷ 19

Cuối thế kỷ 19 - Đầu thế kỷ 20

• Ông không chỉ định nghĩa tập hợp như là một tập hợp các đối tượng vật lý mà ông coi tập hợp là một đối tượng toán học chính thống, có thể được mô tả và sử dụng trong các phép toán toán học. Ông tin rằng lý thuyết tập hợp của ông có thể giúp xác định một cách chính xác các khái niệm trong toán học.

Thế kỷ 20 - Lý thuyết tập hợp và các phép toán nâng cao

• Khái niệm về thứ tự và số hạng (Ordinal and Cardinal Numbers):

• • - Trong lý thuyết tập hợp, số hạng (ordinal numbers) dùng để chỉ thứ tự của các phần tử trong một tập hợp (ví dụ: "phần tử thứ nhất", "phần tử thứ hai",...).
• • - Số cardinal là một khái niệm quan trọng dùng để chỉ kích thước hoặc số lượng phần tử của một tập hợp. Số cardinal có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.

Thế kỷ 20 - nay

• Khái niệm tập hợp, vốn xuất phát từ toán học trừu tượng, đã sớm vượt khỏi phạm vi lý thuyết thuần túy để trở thành một công cụ tư duy và tổ chức dữ liệu trong khoa học máy tính hiện đại. Trong lập trình, tập hợp giúp máy tính mô phỏng logic phân loại và so sánh của con người, còn trong cơ sở dữ liệu, mỗi bảng có thể được xem như một tập hợp các bộ giá trị, nơi các thao tác như chọn lọc hay liên kết đều phản ánh các phép toán tập hợp.

• Lý thuyết đồ thị cũng vận hành trên cơ sở của các tập hợp đỉnh và cạnh, giúp phân tích đo đạc các mạng lưới tàu điện ngầm, cao tốc phức tạp. Lý thuyết đồ thị còn được dùng trong nghiên cứu cấu trúc ba chiều của các phân tử trong vật lý.

• Trong khi các lĩnh vực như mã hóa hay lý thuyết thông tin tận dụng tính rời rạc của tập hợp để đảm bảo truyền tải dữ liệu chính xác.